第82章

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      如果r 小于m，那么pr/qh=0，并且q/prh＝0。经过一些计算，得出的
      结果是我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会等于
      
      m + 1
      
      o
      
      n + 1
      
      我们现在想知道下一次拿出的球是白球的机会是多少。经过进一步的计
      
      算，结果这种机会等于
      mm
      +
      + 12
      。
      
      注意这个结果是不以n 为转移的，并且如果m 大，它就非常接近1。
      
      在上面的简略叙述中，我并没有把关于归纳问题的论证包括进去，我将
      把那些论证推到后一个阶段去讨论。我将首先研究概率的某种解释的适当
      性，就这个问题可以与有关归纳的问题分开的限度内进行考察。
      
      第三章有限频率的解释
      
      在本章内我们要研究的问题是关于“概然性”的一种非常简单的解释。
      首先我们必须证明这种解释满足第二章的公理，然后再初步考察这种解释可
      以在多大范围内囊括“概然性”这个词的通常用法。我将把这种解释叫作“有
      限频率说”，以区别于后面我们将要研究的另一种频率说。
      
      有限频率说从下面的定义出发：
      
      设日是任何一个有限集合，而A 是任何一个另外的集合。我们想确定任
      意选择的日的一个分子为A 的一个分子的机会，比方说，你在街上遇见的第
      一个人名叫斯密土的机会。我们把这种概率定义为B 的分子也是A 的分子的
      数除以日的总数的商。我们用A/B 这个符号来表示它。
      
      显然给予这样定义的概率一定是一个有理分数或者就是0 或1。
      
      几个具体的例子就可以让我们看清楚这个定义的意义。一个任意挑选的
      小于10 的整数为质数的机会是多少？有9 个整数小于10，其中5 个是质数；
      所以机会是5/9。假定你不知道我的生日，那么在我去年生日那天剑桥下雨
      的机会是多少？如果剑桥下雨的天数是m，那么机会就是m/365。一个人在伦
      敦电话簿里出现为斯密士这个姓的机会是多少？为了解决这个问题，你必须
      先数一下在“斯密士”这个姓下面的项目，然后数一下全部项目，并以后面
      的数去除前面的数。从一副纸牌里随便抽出的一张纸牌为黑桃的机会是多
      少？显然是13/52，即1/4。如果你已经抽出一张黑桃，那么你再抽出一张黑
      桃的机会是多少？答案是12/51。一次掷出的两个骰子，数目加起来为8 的
      机会是多少？骰子有36 个可能出现的给局，其中有5 个数目加起来为8，所
      以机会是5/36。
      
      显然就许多简单例子来说，上面的定义所得的结果符合于概然性的习惯
      用法。现在让我们擦究一下给予这样定义的概然性是否满足那些公理。
      
      我们现在必须把公理中出现的字母p，q 和h 当作类或命题函项，而不是
      命题。我们不说“h 蕴涵p”，而说“p 包含h”；“p 和q”代表p 和q 两类
      的共同部分，而“p 或q”则代表由所有属于p 或q 或者同时属于p 与q 两类
      的项目所构成的类。
      
      我们的公理是：
      
      I.p/h 只有一个唯一的值。除了在h 为零，因而p/h=％的情况外，这个
      公理为真。因此我们假定h 不为零。
      II.p/h 的可能值是所有从0 到1 的实数。照我们的解释，它们将仅是有
      理数，除非我们能找到一种方法把我们的定义扩展到无限类。这并不是容易
      做到的事，因为当除法涉及到的数目是无限数的时候不能得出唯一的结果。
      III.如果h 包含于p,那么p/h=1。在这种情况下，h 与p 的共同部分是h，
      所以根据我们的定义就可以得出上面的结果。
      IV. 如果h 包含于非p,那么p/h＝O。从我们的定义就可以看出这一点，
      因为在这种情况下h 与p 的共同部分是零。
      V.合取公理。照我们的解释来讲，h 的分子同时为p 和q（的分子所占的
      比例数等于h 的分子同时为p 的分子所占的比例数乘以p 与h 的分子同时为
      q 的分子所占的比例数。假定h 的分子数为a,同时属于P 和h 的分子数为b，
      而同时属于p,q 和h 的分子数为c。那么h 的分子同时为p 和q 的分子所占
      的比例数是c/a；h 的分子同时为p 的分子所占的比例数是b/a,而p 和h 的
      
      分子同时为q 的分子所占的比例数是c/b。这样我们的公理就得到了证实，
      因为c/a=b/ax c/b。
      
      VI.析取公理。如果保留上面所说的a,b,C,的意义，并让d 为h 的分子
      同时为p 或q 或者同时属于p 与q 两类的分子数，而e 为h 的分子同时为q
      的分子数，那么照我们现在的解释来讲，这个公理就表示：
      d bec
      
      a
      =
      a
      +
      a
      -
      a, 即d = b + e -c,
      
      这又是很明显的一个结果。
      
      这样，如果h 是一个有分子的有限类，那么这就可以满足我们的公理，
      只要不把概率的可能值限为有理分数的话。
      
      由此可以看出数学的概率论照上面的解释来讲是正确的。
      
      可是我们还需要看一下给予这样定义的概率的范围，这种范围初看似乎
      过于狭小，不能满足我们对于概率的应用所抱的期望。
      
      首先，我们希望能够说出某个特定事件具有某种特点的机会，而不仅仅
      是某一类中某个未经指定的分子所具有的机会。例如：你已经掷出两个骰子，
      但是我还不曾看到结果。对我来说，你掷出双六的机会是多少？我们想能够
      说出它是1/36，而如果我们的定义不允许我们这样说，它就不能充分满足我
      们的要求。在这种情况下，我们说我们把一个事件仅仅当作某一类的一个实
      例来看待；153 我们说如果把a 只当作B 类中的一个分子，那么它属于A 类
      的机会是A/B。但是“把一个特定事件仅仅当作某一类的一个分子来看”所
      表示的意思是不很明确的。这样一种情况所包含的内容是：我们已知一个事
      件的某种特点，这种特点凭借比我们所有的更为完备的知识，足以使这个事
      件唯一确定下来；但是只凭借我们的知识，我们就没有方法确定它是否属于
      A 类，尽管我们确实知道它属于B 类。你在掷出骰子以后知道掷出的结果是
      否属于双六这一类，但是我却不知道这一点。我仅有的一点有关的知识是它
      是36 个可能的掷出结果之一。或者看一看下面的问题：美国身材最高的人居
      住在衣阿华州的机会是多少？有人也许知道他是谁；至少有着一种发现他是
      谁的方法。如果使用这种方法成功，那就出现一个不包含概然性在内的确定
      答案，即他要么在衣阿华州居住要么不在衣阿华州居住。但是我却没有这种
      知识。我可以说衣阿华州的人口为m，而美国人口为n,并且说相对于这些数
      据来说，他在衣阿华州居住的概率是M/n。这样当我们说到一个具有某种特
      点的特定事件的概率时，我们就总要把借以计算概率的有关数据确定下来。
      
      我们可以概括他讲：已知任何一个物体a，并且已知a 是B 类的一个分
      子,我们说凭借这个数据，按照上面所说的概率的定义，a 是A 类的一个分子
      的概率是A/B。这个概念是有用的，因为我们常常充分知道某个物体，使得
      我们可以唯一确定地给它下出定义，而无需知道它是否具有这种或那种属
      性。“美国身材最高的人”是一个确定的描述，这个描述适用于一个并且只
      适用于一个人，但是我并不知道他是什么人，因而他是否居住在衣阿华州对
      我来说仍然是个未决的问题。“我要抽出的一张牌”是一个确定的描述，并
      且我立刻就会知道这个描述是否适用于一张红牌或是一张黑牌，但是现在我
      还不知道。正是这种很常见的关于特定物体的部分无知的情况使得在特定的
      物体身上应用概率成了有用的东西，而不仅是应用到类中完全没有确定的分
      子身上。
      
      虽然部分无知是使上面的概率形式有用的原因，概率这个概354 念却不
      
      包含什么无知，这个概念对于全知来说仍然具有和对于我们来说同样的意
      义。全知会知道a 是否为一个A，但是全知仍然可以说：凭借a 是一个B 这
      个数据，a 是一个A 的概率是A/B。
      
      在把我们的定义应用到特定的实例时，在某些情况下存在着一种可能发
      生的意义上的含混。为了弄清楚这一点，我们必须使用性质而不是类的说法。
      设A 类由性质φ确定，而B 类由性质ψ确定。接着我们说：
      
      a 在已知它具有性质φ的条件下具有性质ψ的概率被定义为同时具有性
      质φ和ψ的事物对于具有性质ψ的事物之比。我们用“φa”来表示“a 具有
      性质φ”。但是如果a 在“φa”内出现不止一次，那就会出现一种意义上的
      含混。举例说，假定“φa”是“a 自杀了”，即“a 杀死a。